A continuación, te mostraremos el procedimiento para calcular las funciones trigonométricas que tienen la característica de estar elevadas a un exponente igual o mayor a 2. Podrás darte cuenta de que para ello se requiere de la utilización de las identidades trigonométricas pitagóricas y en algunos casos de las identidades de ángulo doble.

El objetivo de este tema es ayudarte a resolver integrales que contienen diferenciales trigonométricas.

• La integración de diferenciales trigonométricas comprende funciones trigonométricas que tienen la característica de estar elevadas a un exponente igual o mayor a 2.
• El procedimiento para calcular la integral de este tipo de funciones varía dependiendo de la función trigonométrica y el exponente al que está elevado. En general, se puede decir que se separa la función en dos factores en donde uno de ellos siempre está elevado al cuadrado. Esta función se reemplaza por una identidad, ya sea pitagórica o de ángulo doble, y con la ayuda de un cambio de variable se obtiene el resultado de la integración.

Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que tal vez no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de senx y cosx.

Integración de productos y potencias de senx y cosx

Una idea clave de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de senx y cosx implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma ∫senjxcosxdx o ∫cosjxsenxdx. Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en u. 

Integración de productos y potencias de tanx y secx

Antes de hablar de la integración de productos y potencias de tanx y secx, es útil recordar las integrales que implican tanx y secx que ya hemos aprendido:

1. ∫sec2xdx=tanx+C
2. ∫secxtanxdx=secx+C
3. ∫tanxdx=ln|secx|+C
4. ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C

Para la mayoría de las integrales de productos y potencias de tanx y secx, reescribimos la expresión que queremos integrar como la suma o diferencia de integrales de la forma ∫tanjxsec2xdx o ∫secjxtanxdx. Como vemos en el siguiente ejemplo, podemos evaluar estas nuevas integrales utilizando la sustitución en u.

Fórmulas de reducción

Evaluación de ∫secnxdx para los valores de n donde n es impar requiere la integración por partes. Además, también debemos conocer el valor de ∫secn–2xdx para evaluar ∫secnxdx. La evaluación de ∫tannxdx también requiere poder integrar ∫tann–2xdx. Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencias. Estas reglas nos permiten sustituir la integral de una potencia de secx o tanx por la integral de una potencia inferior de secx o tanx.