La integración por sustitución, también conocida como cambio de variable, es una técnica común en cálculo integral que se utiliza para simplificar la integración de funciones más complicadas. La idea fundamental es reescribir la variable de integración en términos de una nueva variable que simplifique la integral. Aquí hay una explicación general de cómo funciona esta técnica:

Supongamos que tienes una integral definida de la forma:

∫f(g(x))⋅g′(x)dx

donde f es una función exterior y g(x) es una función interna. La regla de sustitución se basa en elegir una nueva variable u de manera que du=g′(x)dx. Entonces, la integral original se convierte en:

∫f(g(x))⋅g′(x)dx=∫f(u)du

Después de realizar esta sustitución, la integral resultante es más fácil de evaluar. Después de obtener la solución en términos de u, se puede volver a expresar en términos de la variable original x si es necesario.

Aquí hay una guía paso a paso para realizar la integración por sustitución:

1. Identificar la función interna y su derivada: Identifica la función g(x) y su derivada g′(x) en la integral.

2. Elegir la nueva variable u: Elige una nueva variable u tal que du=g′(x)dx. Puedes pensar en esto como una "sustitución" de g(x) por u.

3. Reescribir la integral en términos de u: Sustituye g(x) por u y g′(x)dx por du en la integral original.

4. Evaluar la integral resultante en términos de u: La integral resultante debería ser más fácil de evaluar. Si es necesario, puedes hacer simplificaciones adicionales.

5. Revertir la sustitución: Expresa la solución en términos de la variable original x utilizando la relación u=g(x).

Este método es especialmente útil cuando la derivada de la función interna g(x) aparece en la integral original, ya que la sustitución simplifica la expresión y hace más fácil realizar la integración.