La integración por partes es una técnica de integración que se utiliza para encontrar la integral definida de un producto de dos funciones. La fórmula de integración por partes se expresa de la siguiente manera:

∫udv=uv−∫vdu

Donde:

• u es una función diferenciable.
• dv es una función integrable.
• du es la derivada de u.
• v es la integral indefinida de dv.

La fórmula se deriva a partir de la regla del producto de derivadas, que establece que (uv)′=u′v+uv′. Rearrancando esta expresión, obtenemos la fórmula de integración por partes.

Para aplicar la integración por partes, se siguen estos pasos:

1. Selecciona u y dv.
2. Calcula du (la derivada de u) y v (la integral indefinida de dv).
3. Aplica la fórmula de integración por partes.

Un enfoque común es elegir u de acuerdo con una jerarquía conocida de funciones que es más fácil de diferenciar y dv que sea más fácil de integrar.

Un ejemplo común de aplicación de integración por partes es la integral definida:

∫x⋅ln(x)dx

1. Seleccionamos =ln(x) y dv=xdx.
2. Calculamos du=x1​dx y v=21​x2.
3. Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫x⋅ln(x)dx=21​x2ln(x)−∫21​x2⋅x1​dx

Simplificamos y resolvemos para obtener la respuesta final.

La elección adecuada de u y dv generalmente depende de la simplificación del problema y de hacer que du o v sean más simples después de la diferenciación o la integración, respectivamente.